Weißt Du, was Dreieckszahlen und rechteckige Zahlen sind?

Seit meiner Schulzeit weiß ich, dass es Quadratzahlen gibt, doch bis jetzt hatte ich keine Ahnung, dass es auch Dreieckszahlen und rechteckige Zahlen gibt. Gestolpert bin ich über diese beide Zahlentypen in

Thomas de Padova: Alles wird Zahl. Wie sich die Mathematik in der Renaissance neu erfand  

S. 37.

Unser Autor verrät uns, dass wir die drei Zahlenarten dem Mathematiker Pythagoras verdanken, der von 570 bis 510 vor Christus lebte. Anschließend beschreibt er ausführlich anhand der Quadratzahl, wie die Mathematiker jener Zeit mit Rechensteinen mehr über diese Zahlen erfuhren. Was sie mit den Dreieckszahlen und rechteckigen Zahlen anstellten verrät er uns nicht.

Aus diesem Grund werden wir der Frage heute nachgehen. Doch zunächst schauen wir uns das Beispiel unseres Autors über die Rechensteine und die Quadratzahlen an.

Gnomon – der vergessene Schlüssel zur Quadratzahl

In der Schule sind mir die Quadratzahlen zum ersten Mal begegnet. Seitdem weiß ich, dass eine Quadratzahl an einer hochstehenden 2 zu erkennen ist und wie folgt aussieht:

• 1², 2², 3², 4²

Zudem habe ich gelernt, dass dieses hoch 2 bedeutet, dass ich die Zahl mit sich selbst wahrnehmen muss:

• 1² = 1×1 = 1
• 2² = 2×2 = 4
• 3² = 3×3 = 9
• 4² = 4×4 = 12

Bevor ich das Buch unseres Autors gelesen habe, war dies alles was ich über Quadratzahlen wusste. Denn obwohl mir in der Schule auch der Name Pythagoras begegnete, kam nie ein Lehrer auf die Idee mir Rechensteine in die Hand zu drücken, um noch mehr über die Quadratzahlen zu erfahren.

Zu Zeiten des Pythagoras waren Rechensteine etwas ganz normales, wobei diese von Händlern anders genutzt wurden als von Mathematikern. Mathematiker nutzten die Steine, um geometrische Formen im Sand zu bilden. Mit Hilfe dieser Stein-Formen gewannen sie unter anderem neue Erkenntnisse über Quadratzahlen.

Um mehr über die Quadratzahlen zu erfahren, legten die Mathematiker einen Rechenstein in den Sand. Dieser stellte die Quadratzahl 1² da. Im nächsten Schritt legten sie ein Gnomon an den ersten Stein an. Wenn ich es richtig verstanden habe, ist ein Gnomon ist eine Reihe an Rechensteinen, die einen rechten Winkel bilden. Das erste Gnomon der Quadratzahl besteht aus 3 Steinen, das Zweite aus 5 und das dritte aus 7 Steinen. Anhand dieser drei Gnomone konnten die Mathematiker eine weitere mir bis dato unbekannte Erkenntnis über die Quadratzahlen gewinnen.

Damit wir sehen können, was die damaligen Mathematiker, habe ich schnelle eine Sketchnote des gerade Beschriebenen erstellt. Auf der unteren Seite des Rechensteinquadrates siehst Du die jeweilige Quadratzahl, die wir erhalten, wenn wir die liegenden Gesamtsteine zählen. Auf der linken Seite siehst Du die Anzahl der zugelegten Steine des jeweiligen Gnomons fällt Dir etwas auf? Ja genau, hier ist nicht eine gerade Zahl zu sehen, aber jede ungerade Zahl:

• Sichtbare ungerade Zahlen 1, 3, 5
• nicht sichtbar gerade Zahlen 2, 4, 6

Drei kleine Gnomone reichen uns, um zu erkennen, dass das nächste Gnomon aus der nächst höheren ungeraden Zahl besteht. Das vierte hat 9 Steine, das fünfte 11, das sechste 13 usw..

Ich weiß nicht, wie es Dir geht, aber ich finde das ziemlich cool.

Was ist eine Dreieckszahl?

Als ich den Begriff und das mit den Rechensteinen las, dachte ich, dass eine Dreieckszahl bestimmt bedeutet, dass ich einen Rechenstein in den Sand lege und darunter eine Reihe mit 3 Rechensteinen und darunter eine Reihe mit 5 Rechensteinen. Doch damit lag ich falsch. Eine Dreieckszahl erhalten wir, wenn wir unter den ersten Stein zwei Steine und unter diese drei Steine legen.

Allein dadurch, dass ich die Dreieckszahl gerade visualisiert habe, habe ich herausgefunden, dass diese sich dadurch auszeichnet, dass jede Reihe ein Stein mehr hat als die Vorgängerreihe. Unsere Dreieckszahl verwendet also im Gegensatz zur Quadratzahl ungerade und gerade Zahlen. Um die Anzahl der Rechensteine in einer Dreieckszahl zu berechnen, brauchen wir also nur wissen, wie viele Reihen die Dreieckszahl haben und dann alle Zahlen bis dahin zusammenzählen:

• Dreieckszahl mit 7 Reihen 1 + 2 + 3 + 4 +5 + 6 + 7 = 28 Steine
• Dreieckszahl mit 15 Reihen 1 + 2 + 3 + 4 +5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 120 Steine

Lass uns mal schauen, was passiert, wenn wir uns die Gesamtzahl der Steine der ersten 4 Reihen anschauen:

• Dreieckszahl mit 1 Reihe = 1 Stein
• Dreieckszahl mit 2 Reihen 1 + 2 = 3 Steine
• Dreieckszahl mit 3 Reihen 1 + 2 + 3 = 6 Steine
• Dreieckszahl mit 4 Reihen 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Steine

Ich weiß nicht, wie es Dir geht, aber ich erkenne hier keine Besonderheit.

Was ist eine rechteckige Zahl?

Unter einer rechteckigen Zahl kann ich mir nichts so recht vorstellen. Das Einzige, was ich vermute, ist, dass es zwei jeweils gleichlange längere und zwei kürzere Seiten gibt. Also habe ich schnell das Internet gefragt und herausgefunden, dass eine rechteckige Zahl, bzw. Rechteckszahl mit 2 Rechensteinen beginnt und dann durch die uns bereits dank der Quadratzahl vertrauten Gnomone erweitert wird.

Weil ich unfassbar faul bin, habe ich mir für die Visualisierung der rechteckigen Zahl einfach die Visualisierung unserer Quadratzahl geschnappt und auf der linken Seite eine Reihe ergänzt. Meine Zählfaulheit hat dann geschrien: „Du brauchst die Rechensteine der Gnomone nicht zählen, addiere einfach eine 1 zu denen der jeweiligen Quadratzahl-Gnomone.“ Und was soll ich sagen, es hat funktioniert. 🥳Der Gnomon einer rechteckigen Zahl hat immer einen Stein mehr als der Gnomon einer Quadratzahl. Krasser Weise bestehen die Gnomonen der rechteckigen Zahl damit alle aus graden Zahlen.

Bei Anschauen der rechteckigen Zahl ist mir noch etwas ins Auge gefallen. Eine rechteckige Zahl besteht aus 2 Dreieckszahlen.

Fazit

Mathematik gehört neben Sport zu den Fächern, die für mich in der Schule die Hölle waren. Nie hätte ich mir vorgestellt, dass ich eines Tages eine Blog-Beitrag schreiben werde, in dem ich breit vor mich hin grinse, weil ich ohne Internet Erkenntnisse über Zahlen gewinne, von denen ich noch nie etwas zuvor gehört habe. Jetzt wüsste ich gern, warum ich in der Schule mit dem Satz des Pythagoras gefoltert wurde (den ich mir bis heute noch nicht merken kann), mir aber die Sache mit den Rechensteinen vorenthalten wurde. Doch diese Frage ist nicht zielführend. Viel Zielführender ist folgende Frage: Welche Erkenntnisse gewinnst Du, wenn Du mit Rechensteinen Gnomonen, Quadratzahlen, Dreieckszahlen und rechteckigen Zahlen spielst?