Kennst Du die Geschichte von Achilles und der Schildkröte?
Ich hab zwei Achillesfersen, und Du?
Wenn ich Achilles höre, denke ich an die Achillesferse, und ich weiß, dass diese die einzige Stelle an Achilles Körper war, an dem dieser verletzbar war. Auch weiß ich, dass jeder von uns bis zu zwei Achillesfersen hat.
Doch ich habe keine Ahnung, was Achilles mit einer Schildkröte zu tun hat. Die Frage
„Kennen Sie das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte?“
in dem Buch der Autorin
Silvia Ferrara: Die große Erfindung. Eine Geschichte der Welt in neun geheimnisvollen Schriften, S. 229,
muss ich also mit „Nein“ beantworten. Allerdings bin ich zu neugierig, um es mit dieser Antwort auf sich beruhen zu lassen. Es ist Zeit, in die Tiefen des großartigen Internets abzutauchen und dafür zu sorgen, dass wir die Frage der Autorin in Zukunft mit „Ja“ beantworten können.
Das Paradoxon von Achilles und der Schildköte
Wieder einmal habe ich nicht die Originalgeschichte gefunden. Doch zum Glück verrät uns spektrum.de nicht nur, dass diese von Zenon stammt, der in der Zeit von 490 bis 430 vor Christus lebte, sondern wir lernen auch den Inhalt der Geschichte kennen, der in etwas so lautet:
Da ich nicht still stehe, holst Du mich nicht ein.
Eines Tages trifft der fast unverwundbare Held Achilles eine unglaublich kluge Schildkröte. Diese ist zwar langsamer als unser athletischer Held, doch im schnellen Denken ist Achilles ihr unterlegen. Die Schildkröte fordert Achilles zu einem Wettlauf auf. Achilles ist überzeugt, dass die Schildkröte mit ihren Stummelbeinchen und ihrem schweren Panzer nicht mit ihm mithalten kann. Als diese ihn bittet, ihr einen Startvorsprung einzuräumen, lässt Achilles sich großzügig darauf ein.
Während die Schildkröte losläuft, bindet sich unser Held die Schuhe zu. Irgendwann startet auch Achilles ins Rennen und legt die Strecke, für die die Schildkröte lange gebraucht hat, in kürzester Zeit zurück. Doch nun passiert etwas, womit die schlaue Schildkröte nicht aber unser Held gerechnet hat. Was Achilles auch tut, er kann die kluge Schildkröte nicht einholen. Denn während er damit beschäftigt war, die Strecke zurückzulegen, die die Schildkröte bereits zurückgelegt hatte, läuft diese weiter und schafft wieder Abstand zwischen sich und dem Helden.
Warum holt Achilles die Schildkröte nicht ein?
Offensichtlich bin ich nicht so klug wie unsere Schildkröte. Denn beim Lesen der Geschichte habe ich nicht verstanden, warum Achilles die Schildkröte nicht einholt. Wenn ich gegen eine Schnecke antrete und diese in der Lage ist, 100 Zentimeter in der Stunde zurückzulegen und ich in der Lage bin, 5 Kilometer in der Stunde zurückzulegen, dann überhole ich die Schnecke nach kürzester Zeit, selbst wenn ich ihr 59 Minuten Vorsprung lasse. Schließlich brauche ich nur 2 Schritte, um 100 Zentimeter zurückzulegen.
Dank YouTube habe ich es verstanden.
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Zu meiner großen Freude habe ich ein YouTube Video gefunden, das erklärt, warum Achilles nicht in der Lage ist, die Schildkröte einzuholen. In seinem Video erklärt uns Daniel Jung, dass das mathematische Problem von Achilles darin besteht, dass dieser zehnmal schneller ist als die Schildkröte. Während er 10 Meter läuft, läuft die Schildkröte 1 Meter. Achilles hat damit den Abstand zwischen sich und der Schildkröte auf einen Meter verkürzt. Wenn Achilles nun den einen Meter zurücklegt, legt die Schildkröte 10 Zentimeter zurück. Achilles hat den Abstand nun wieder um einen Meter verkürzt, doch eingeholt hat er die Schildkröte noch nicht und so geht es ewig weiter. Achilles kommt immer näher an das kleine Tier heran, doch überholen kann er sie nicht.
Fazit
Ich weiß nicht, wie es Dir geht. Aber ich habe nicht damit gerechnet, dass Achilles und die Schildkröte etwas mit Mathematik zu tun haben würden. Was mich an dieser Geschichte fasziniert ist die Tatsache, dass die Menschheit laut spektrum.de über 2000 Jahre brauchte, um das mathematische Rätsel in dieser Geschichte zu lösen.
Irgendwie habe auch ich das Gefühl, dass mich noch 2000 Jahr davon trennen zu verstehen, worin das mathematische Problem besteht und wie es überwunden wurde. An dieser Stelle bin ich neugierig: Verstehst Du, warum dieses Paradoxon Mathematiker so lange in Schach zu halten vermochte?
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Das Buch, das diesen Beitrag inspiriert hat, habe ich als Rezensionsexemplar vom Verlag erhalten. Das bedeutet, ich habe das Buch kostenlos zur Verfügung gestellt bekommen, um darüber zu schreiben.
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Die Originalgeschichte, die ursprüngliche Überlieferung lautet:
„Vier aber sind Zenons Sätze über Bewegung, die in Schwierigkeiten verwickeln die Lösenden. Der zweite, der sogenannte Achille. Er besteht darin, dass das Langsamere nie eingeholt werden wird im Laufen von dem Schnelleren. Denn vorher muss dahin kommen das Verfolgende, wovon auslief das Fliehende: sodass stets etwas voraushaben muss das Langsamere.“ http://www.zeno.org Aristoteles Physik 6. Buch 9. Capitel
Zur Zeit Zenons war das Denken noch in den Kinderschuhen, Kinder benützen Worte, die sie nur zum Teil oder gar nicht verstehen. Dass zu einem Schnelleren ein Langsamer gehört, weiß er, anscheinend weiß er aber nicht, dass zu vorher ein nachher gehört, das im Kontext fehlt: Achilles wird – und nicht muss – vorher an wovon auslief vorbeilaufen und (erst) nachher sie einholen. Das Begriffspaar vorher-nachher bezieht sich auf die gesamte Laufzeit des Einholens, z. B. 8 ZE vorher und 2 ZE nachher für 10 ZE des Einholens: für die 2 ZE nachher gibt es kein vorher -nachher mehr, es sei denn ich spreche von einem anderen Rennen. Das Wort stets ist hier nicht angebracht.
Bei einer Einholzeit von 100/9 ZE kann ich von einzelnen (vorher-nachher) Paaren sprechen: (1/9 + 99/9); (2/9 + 98/9); ….; (98/9 + 2/9); (99/9 + 1/9), folgt man Zenon so erhält man eine unendliche Summe: 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + …, (die man de facto nicht addieren kann, weil es keine letzte Zahl gibt), die mit dem komplementären Begriffspaar (vorher-nachher) nichts zu tun hat.
Wenn ich für vorher 10 ZE wähle, dann folgen für nachher 10/9 ZE, falls die Einholzeit 100/9 ZE betragen sollte. Wenn Zenon das Einholen voraussetzt, das tut er wohl, denn nur so entsteht ein Widerspruch, dann gibt es eine bestimmte Einholstrecke und eine bestimmte Einholzeit mit der Zenon nicht umgehen kann.
William I. McLaughlin war ein international anerkannter Fachmann auf dem Gebiet der Dosimetrie ionisierender Strahlung. Unter den 25 Autoren, die Wikipedia erwähnt, kommt er nicht vor! Da bei Achille von zwei geradlinigen gleichmäßigen Bewegungen die Rede ist, benötigt man keine Infinitesimale, keine „höhere“ Mathematik. Das ist Krampf.
Bei einem „Fang mich“-Spiel läuft ein Opa 3 Mal schneller als sein Enkel, der einen Vorsprung von 12 m hat. Wie weit und wie lange werden beide laufen, bis der Opa seinen Enkel eingeholt haben wird?
Wer 3 Mal schneller und eingeholt versteht und nur die Grundrechenarten kennt, kann recht einfach die Einhollänge berechnen: Wenn man von der Opa-Laufstrecke bis zum Einholort die Enkel-Laufstrecke bis dorthin – die 3 Mal kürzer ist – abzieht, bleiben 2 Enkel-Laufstrecken für den Vorsprung. Sein Enkel wird somit 12 m : 2 = 6 m und der Opa 6 m ∙ 3 = 18 m weit laufen. Wie lange sie laufen werden ist beliebig, dies hängt davon ab, wie schnell – nicht schneller – sie laufen: bei großer Geschwindigkeit wird die Einholzeit klein sein und umgekehrt, theoretisch könnte es 1 Millisekunde sein oder eine Stunde.
Kurz gesagt: Das Begriffspaar (vorher-nachher) teilt die Einholzeit in genau zwei Teile und nicht mehr.
Hallo Michael,
vielen Dank für Deine sehr ausführliche Erläuterung. Du bist großartig.
Viele Grüße
Maria
Großartig bin ich nicht, nur ein bissen Nach-Denken lohnt sich.
Noch eine Bemerkung: Du hast das Einholen gelöst, indem Du „5 Kilometer in der (einer) Stunde“ d. h. den Begriff „schnell“ benützt hast doch genau diesen Begriff war den Menschen der Antike unbekannt; man verstand (zum Teil) den Begriff schneller, aber nicht schnell, also Geschwindigkeit, erst Galileo Galilei (fast 2000 Jahre nach Zenon) gab eine Definition für die konstante Geschwindigkeit. Die Mathematik kann das Paradoxon nicht lösen, sie gibt nur eine Methode an, mit der man den Einholort eindeutig bestimmen kann, nicht aber die Einholzeit, die bleibt (mit den Voraussetzungen Zenons) unbestimmt, weil diese von den Geschwindigkeiten, von „schnell“ der Läufer abhängt (laufen sie schneller, ist die Einholzeit kürzer und umgekehrt).
Hallo Michael,
danke für Deine großartige Erläuterung.
Ich wünsche Dir einen fantastischen Tag.
Viele Grüße
Maria von Du-Bist-Großartig.de