Weißt Du, was reelle Zahlen sind?

Einer der Gründe, warum ich viele mathematische Erklärungen nicht verstehe, ist schlichtweg der, dass mir das dafür notwendige mathematischen Vokabular fehlt. Wenn ich in

Claus O. Wilke: Datenvisualisierung – Grundlagen und Praxis. Wie Sie aussagekräftige Diagramme und Grafiken gestalten,

S. 13.

lese, dass die beiden Achsen eines Kartesischen Koordinatensystems durchgehende Positionsskalen sind, die durch positive und negative reelle Zahlen dargestellt werden, dann fehlt mir ein vollständiges Bild zu dem was der Autor beschreibt.

Ich weiß, dass

• ein Kartesisches Koordinatensystem nach Kant benannt ist und wie es funktioniert,
• die beiden Achsen eines Koordinatensystems durch 2 Pfeilen dargestellt werden, die sich in ihrer Mitte kreuzen,
• einer der Pfeile nach oben zeigt und einer nach rechts,
• die Pfeile mit Zahlen versehen sind,
• die zwei Pfeile unterschiedliche Werte darstellen, zum Beispiel x und y,
• sich auf jedem der Pfeile eine durchgehende Positionsskala befindet, mit deren Hilfe ich eine Koordinate ausfindig machen kann, sobald ich einen x und einen y Wert habe,
• 4 eine positive und -4 eine negative Zahl ist.

Was mir für ein vollständiges Bild fehlt, ist das Wissen, was eine reelle Zahl ist. Ich bin gespannt, ob unser Lexikon diese Wissenslücke schließen kann.

Was das Lexikon sagt

Zu meinem großen Erstaunen verrät uns unser Lexikon nicht nur was reell bedeutet, sondern auch was reelle Zahlen sind.

reell, 1) anständig, ehrlich, redlich; 2) wirklich, tatsächlich, vorhanden.

Das Zeit Lexikon. Mit dem Besten aus der Zeit, Band 12, S. 147.

Reelle Zahlen, ↑ Zahl.

Das Zeit Lexikon. Mit dem Besten aus der Zeit, Band 12, S. 147.

Da der Lexikon-Eintrag zum Thema Zahl sehr lang ist, zitiere ich hier nur den für uns relevanten Teil (der noch immer sehr lang ist.)

Zahl, Grundbegriff der Mathematik zur Bez. Der Mächtigkeit einer […] Menge […]. Urspr. beinhaltete der Z.-Begriff nur die zum Zählen geeigneten natürl. Z., die positiv gerade (2, 4, 6 …) oder positiv ungerade (1, 3, 5 …) sind […]. Die Subtraktion (als Umkehr der Addition) führte zur Null (0) und den negativen Z. (-1, -2, -3, …); positive und negative Zahlen werden als ganze Z. (Z, ℤ) zusammengefasst. Um auch die Division (Umkehr der Multiplikation) uneingeschränkt ausführen zu können, wurde die Menge der ganzen Z. durch Hinzunahme der gebrochenen Z. (↑ Bruch) zur Menge der rationalen Z. (Q, ℚ) erweitert. […] Durch Auflösung algebraischer Gleichungen gelangte man zu den algebraischen Z., zu denen außer den rationalen Z. auch die Wurzeln gehörten. Nicht mehr als Wurzeln algebraischer Gleichungen darstellbar sind die transzendenten Z. (nichtalgebraische Zahlen), wie z. B. […] die Zahl […]. Algebraische und transzendente Z. bilden zus. die irrationalen Z., die sich durch unendl. nichtperiod. Dezimalbrüche darstellen lassen, rationale und irrationale zus. die reellen Z. (R, ℝ), deren Erweiterungen die komplexen Z. (C, ℂ) sind. […]

Das Zeit Lexikon. Mit dem Besten aus der Zeit, Band 16, S. 423f.

Je öfter ich den Eintrag lese, desto verwirrter werde ich. Daher bleibt mir nichts anderes übrig als eine übersichtliche Liste aus den Informationen zu erstellen, die uns das Lexikon hier so geballt vor die Füße kippt.

• positiv gerade Zahlen (2 ,4 ,6…),
• positiv ungerade Zahlen (1, 3, 5…),
• natürliche Zahlen (1, 2, 3…) bestehen aus positiv geraden und positiv ungeraden Zahlen,
• Null (0),
• negative Zahlen (-1, -2, -3…),
• ganze Zahlen (…-2, -1, 1, 2…) bestehen aus positiven und negativen Zahlen,
• gebrochene Zahlen (, …),
• rationale Zahlen (…-2, -1, , , 1, 2…) bestehen aus positiven, negativen und gebrochenen Zahlen,
• Wurzeln (),
• algebraische Zahlen (…-2, -1, , , 1, 2, …) bestehen aus positiven, negativen und gebrochenen Zahlen und Wurzeln,
• transzendente Zahlen ( ),
• nichtalgebraische Zahlen ( ),
• irrationale Zahlen (…-2, -1, , , 1, 2,  , …) bestehen aus positiven, negativen und gebrochenen Zahlen und Wurzeln und transzendenten Zahlen,
• reelle Zahlen (…-2, -1, , , 1, 2…) (…-2, -1, , , 1, 2,  , …) bestehen aus rationalen und irrationalen Zahlen.

Irgendwie werde ich das Gefühl nicht los, dass ich einen Fehler gemacht habe. Bis zu den irrationalen Zahlen fühlt sich die Liste gut an. Doch bei den reellen Zahlen stimmt doch irgendetwas nicht, oder? Soweit ich unser Lexikon verstehe, sind alle rationalen Zahlen in den irrationalen Zahlen enthalten, oder habe ich mich da verlesen?

Das Internet beantwortet meine Frage wie folgt:

„Rationale Zahlen sind entweder Brüche aus ganzen Zahlen oder Dezimalzahlen. Irrationale Zahlen sind zwar auch Dezimalzahlen, allerdings sind sie nicht periodisch und haben unendlich viele Nachkommastellen.“

Doch ich bin nach all den Informationen zu erschöpft, um zu verstehen, was mir das Lexikon sagen will. Doch ich wette, Du findest es raus. 😉

Fazit

Egal, ob ich in der Liste einen Fehler gemacht habe oder nicht. Ich weiß jetzt, dass eine reelle Zahl einfach jede Zahl sein kann, die ich mir vorstellen kann. Bis jetzt dachte ich tatsächlich, dass hier nur Zahlen (mit oder ohne Komma und mit positivem oder negativem Vorzeichen) und Buchstaben für die Skalen auf den Pfeilen geeignet wären. Dass ich dazu auch Brüche oder Wurzeln nehmen kann, lag bisher außerhalb meiner Vorstellungskraft.

An dieser Stelle bin ich neugierig: Kennst Du ein Koordinatensystem, das Brüche oder Wurzeln als Skala nutzt?