Weißt Du, was Trigonometrie ist?

Wie weit ist dieser Stern weg?

Ich bin mir sehr sicher, dass die Trigonometrie Teil meines mathematischen Schulunterrichtes war, und dennoch habe ich keine Ahnung, was genaue ich mit ihr anstellen kann. Vor einiger Zeit haben wir gelernt, dass wir mit einer trigonometrischen Parallaxe berechnen können, wie weit ein Stern von der Erde entfernt ist. Doch die Erklärung, wie genau die Berechnung funktioniert, blieb ich damals schuldig. Dank

Serge Haroche: Licht. Eine Geschichte

werden wir uns heute das Thema Trigonometrie anschauen. Damit kommen wir ein Stück näher an den Punkt, an dem ich vielleicht irgendwann verstehe, wie die Stern-Entfernungs-Berechnung mit einer trigonometrischen Parallaxe funktioniert. Der Autor unseres Buches ist Nobelpreisträger für Physik und berichtet in seinem Buch, dass er schon als kleiner Junge sehr viel Freude an Zahlen und Berechnungen hatte. Er beschäftigte sich schon mit dem Thema Trigonometrie, bevor er den Begriff überhaupt kannte.

Was ist Trigonometrie?

Lehrer Schmidt auf YouTube verrät uns, dass Winkelfunktion ein anderer Begriff für Trigonometrie ist. Wikipedia verrät uns, dass Trigonometrie das griechische Wort „trigonon“ für Dreieck enthält. Damit wissen wir nun, dass wir mit Hilfe der Trigonometrie die Winkel innerhalb eines Dreiecks berechnen können. Alles, was wir für die Berechnung der Winkel brauchen, sind ein paar Formeln und die Seitenlängen des Dreiecks.

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Warum müssen Winkel in Dreiecken berechnet werden?

Ein Rechteck oder Quadrat hat 4 rechte Winkel. Das bedeutet, eine Linie in ein einem Rechteck oder Quadrat trifft immer in einem 90 Grad Winkel auf die nächste Linie. Das bedeutet auch, dass die Summe aller Winkel in einem Rechteck immer 360 Grad (90+90+90+90) beträgt. Bei einem Dreieck greift diese Winkelregel nicht. Wenn wir also wissen wollen, wie groß die Winkel in einem Dreieck sind, müssen wir diese entweder ausmessen oder berechnen.

Warte, ich bin gar kein Dreieck?

Die drei Winkel in einem Dreieck können jede beliebige Größe haben. Nun ja, ganz stimmt das nicht. Der größte Winkel in einem Dreieck muss kleiner als 180 Grad sein, da zwei Linien, die in einem 180 Grad Winkel aufeinandertreffen, eine Linie sind.

Wenn wir alle Winkel in einem Dreieck zusammenrechnen, erhalten wir eine Winkelsumme von 180 Grad. Das bedeutet, dass wir auch ohne auswendig gelernte Matheformeln in der Lage sind, den dritten Winkel eines Dreieckes zu berechnen, wenn wir 2 Winkelgrößen des Dreieckes kennen. Hier der Beweis: Nehmen wir an, wir wüßten, dass ein Winkel des Dreiecks 90 Grad und der andere 45 Grad hat. Jetzt ziehen wir die 90 und die 45 von den 180 ab

180-90-45=45

und wissen nun, dass der dritte Winkel unseres Dreiecks 45 Grad hat. Diese Berechnung funktioniert auch bei nicht rechtwinkligen Dreiecken, die zum Beispiel einen 23- und einen 97-Grad-Winkel haben:

180-97-23=60

Wie berechnen wir die Winkel in einem Dreieck?

Wir können das ausrechnen.

Obwohl wir uns noch keine trigonometrische Formel angeschaut haben, haben wir gerade schon die Winkel eines Dreieckes berechnet. Die Magie an der Trigonometrie ist, dass wir die Winkel in einem Dreieck berechnen können, obwohl wir keinen einzigen Winkel des Dreieckes, sondern nur dessen Seitenlängen kennen.

Egal, wie sehr ich mich bemühe, ich werde in diesem Beitrag nicht in der Lage sein, alle Berechnungen verständlich und einfach zu erklären. Wenn Du tief in das Thema eintauchen und es wirklich verstehen möchtest, empfehle ich Dir diese 20 Videos umfassende YouTube Playliste von Lehrer Schmidt, in der er sich mit der Trigonometrie auseinandersetzt. Ich habe nicht alle Videos angeschaut, doch die, die ich gesehen habe, habe ich verstanden. Daher gehe ich davon aus, dass auch Du sie verstehen wirst.

Was ich in diesem Beitrag allerdings beantworten möchte, ist die Frage, wie sich aus den Seitenlängen eines Dreiecks ein Winkel des Dreiecks berechnen lässt. Denn das war mir bisher ein Rätsel. Wenn ich ein Dreieck habe, dessen eine Seitenläge 3 Zentimeter und dessen andere Seitenlänge 4 Zentimeter sind, kann ich die beiden Seitenlängen mit Hilfe der Punkt- und Strichrechnungen, die ich beherrsche, nicht dazu bringen, mir einen Winkel als Ergebnis zu liefern. Egal, was ich mache, ich erhalte immer schnöde Zahlen:

• 4+3=7
• 4-3=1
• 4*3=12
• 4:3=1,333333
• 3+4=7
• 3-4=-1
• 3*4=12
• 3:4=0,75

Für die Berechnung der Winkel brauche ich also mehr als nur die Kenntnis der zwei Seiten eines Dreiecks, ich brauche Grundlagen.

Die Grundlagen der Trigonometrie

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Wo hole ich mir diese Grundlagen her? Natürlich von Lehrer Schmidt von YouTube. Anhand eines rechtwinkligen Dreiecks erklärt er uns, dass die 3 Linien in einem Dreieck unterschiedliche Namen haben:

1. Hypotenuse – Die längste Linie in einem Dreieck.
2. Katheten – Die beiden anderen Linien in einem Dreieck.

Damit wir die beiden Katheten auseinanderhalten können, heißt die eine Kathete Ankathete und die andere Gegenkathete. Doch welche ist jetzt welche Kathete? Nun, das kommt darauf an, welchen der zwei unbekannten Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck (es ist rechtwinklig, weil ein Winkel 90% hat) ich berechnen möchte. Die Ankathete ist immer die Kathete, die den Winkel, den ich berechnen möchte, berührt. Die Gegenkathete immer die andere Linie, die ihn nicht berührt. Oder wie Lehrer Schmidt es sagt: „Die Ankathete ist die Linie, die an dem Winkel liegt.“

Jetzt fehlen uns nur noch die Formeln, die wir für die Berechnung brauchen:

• Sinus = Gegenkathete: Hypotenuse
• Cosinus = Ankathete : Hypotenuse
• Tangens = Gegenkathete : Ankathete
• Cotangens = Ankathete : Gegenkathete.

Jetzt haben wir die Grundlagen. Lass uns doch jetzt einmal schauen, ob wir mit diesen Grundlagen in der Lage sind, den Winkel eines Dreieckes zu berechnen.

Einen Winkel mit Sinus berechnen

Wir wissen, dass die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck länger sein muss als die Katheten. Daher behaupte ich für unsere Berechnung nun einmal, dass wir folgende Werte haben:

• Gegenkathete = 4 cm
• Hypotenuse = 10 cm

Lass uns jetzt den Sinus berechnen:

• Sinus= Gegenkathete : Hypotenuse
• Sinus = 4 : 10 = 0,075

Das ist kein Winkel, oder? Der Trick ist laut diesem YouTube Video jetzt der Taschenrechner, der eine Taste sin^-1 hat. Wir drücken auf diese Taste geben die 0,075 und eine ) ein und drücken =. Schon spuckt uns unser Taschenrechner den gewünschten Winkel aus. Das blöde an dieser Stelle ist, dass der Taschenrechner auf meinem Computer zwar eine Sin, aber keine Sin^-1 Taste hat, was bedeutet, dass ich den Winkel nicht benennen kann.

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Fazit

Nach der heutigen Recherche ahne ich, warum meine grauen Zellen die Trigonometrie verdrängt haben. Dass eine Taste auf einem Taschenrechner die Lösung für all meine Probleme ist, ist für mich nicht zufriedenstellend. Ich kann mit ihrer Hilfe zwar den Winkel ermitteln, weiß aber nicht, was genau im Hintergrund in meinem Taschenrechner passiert. Das macht mich nicht glücklich.

Dennoch bin ich nach der heutigen Recherche glücklich. Ich habe zwar noch immer nicht das Gefühl, dass ich das Thema Trigonometrie wirklich verstehe. Aber zumindest weiß ich nun, dass ich mit ihrer Hilfe alle Daten in einem Dreieck berechnen kann. Was mich aber wirklich glücklich macht, ist dass ich jetzt in der Lage bin, mit 2 Winkeln in einem Dreieck den dritten Winkel zu errechnen und das ganz ohne fiese mathematische Formeln.

An dieser Stelle bin ich neugierig. Weißt Du, welcher Winkel erscheint, wenn die sin^-1(0,075) Tasten gedrückt werden? Und weißt Du auch, was der Taschenrechner im Hintergrund macht, um diesen Wert zu ermitteln?